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# Algèbre de Boole

Constitue une partie des travaux de Georges Boole (1815-1864) relatif à l'élaboration d'une base mathématique au raisonnement logique.

Une algèbre de Boole est la donnée de :

- un ensemble E,
- deux éléments particuliers de E : 0 et 1,
- deux opérations binaires sur E : + et . (le . sera parfois omis),
- une opération unaire sur E.

qui vérifient les axiomes suivants : soient

commutativité | a+b=b+a | ab=ba
associativité | (a+b)+c=a+(b+c) | (ab)c=a(bc)
distributivité | a(b+c)=ab+ac | a+(bc)=(a+b)(a+c)
éléments neutres | a+0=a | a1=a
complémentation | a+ =1 | a =0

Les théorèmes suivants peuvent être déduits :

idempotence | a+a=a | aa=a
absorption | a+ab=a | a(a+b)=a
De Morgan (dualité) | = . | = +
éléments absorbants | a+1=1 | a0=0

? Démontrer que aa=a

On se restreind ici à l'algèbre de Boole minimale, où . Cette algèbre peut être interprétée comme suit :

- 1 est interprété ``vrai'' et 0 ``faux'',
- + est interprété ``ou'' (disjonction logique)
- . est interprété ``et'' (conjonction logique)
- - est interprété ``non'' (négation logique)

? L'algèbre des ensembles munis des opérations d'union, d'intersection et de complémentation est elle une algèbre de boole ?

- Tables de vérité et portes logiques
- Expressions et fonctions booléennes
- Simplificaton d'expressions booléennes

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